El sumatorio, también conocido como sumatoria (aunque la RAE no incluye “sumatoriA” en su diccionario, su uso es bastante frecuente), es un operador matemático que representa de manera abreviada la suma de varios, o incluso infinitos, números llamados sumandos. El sumatorio se expresa con la letra griega sigma mayúscula “Σ” y los sumandos generalmente son expresados como una variable (x, y, z) y sus valores dependen de los subíndices (i, j, k), los cuales son números enteros. Los subíndices tienen como valor inicial el número que aparece en la parte inferior de Σ, y van incrementando en una unidad hasta llegar al valor final de la sumatoria, el cual está en la parte superior. Todo esto se expresaría de la siguiente manera:

Esto se leería así: El sumatorio de x sub i, desde i igual a 1 hasta n.

El uso más frecuente es para abreviar fórmulas, en las cuales se incluya justamente la suma de un conjunto de números consecutivos. Como se puede ver en la formula anterior, se utilizan puntos suspensivos para resumir números, y al utilizar la sumatoria ya no sería necesaria esta notación. Por ejemplo, en estadística la fórmula más utilizada es la del promedio o media aritmética, a continuación, veremos la diferencia de expresarla al usar la notación con sumatorio.

Media aritmética utilizando puntos suspensivos:

Media aritmética utilizando el sumatorio:

Los subíndices indican el lugar del elemento dentro del conjunto total de datos. Para aterrizar esta idea, podríamos poner como ejemplo la cantidad de hijos de un conjunto de 6 trabajadores en una empresa: Patricia tiene 2 hijos, Sergio tiene 1 hijo, Moira tiene 2 hijos, Cristina tiene 3 hijos, Carlos tiene 2 hijos y finalmente Jessica tiene 2 hijos. Pues bien, a cada trabajador vamos a asignarle un x sub i: Patricia será el primer elemento, por lo tanto, le corresponde el X₁, Sergio será el segundo elemento por lo cual le corresponde X₂ y así sucesivamente. Ahora armaremos una tabla con toda esta información:

Sumemos los tres primeros elementos:

Reemplazando los valores y realizando la suma se tiene:

La suma de la cantidad de hijos de los tres primeros trabajadores es 5. En otras palabras, entre Patricia, Sergio y Moira tienen un total de 5 hijos.

Ahora sumemos los últimos tres elementos:

La suma de la cantidad de hijos de los tres últimos trabajadores es 7. En otras palabras, entre Cristina, Carlos y Jessica tienen un total de 7 hijos.

Nótese que en esta ocasión el primer elemento de la sumatoria no fue 1, si no que se empezó desde el cuarto elemento, es decir i = 4.

Evidentemente habrá que estar atento a la manera de ordenar los datos, antes de asignar los subíndices respectivos. En este caso simplemente asignamos los “X i” en base al orden que los fuimos mencionando. En otros casos, como por ejemplo la mediana, habrá que ordenar los datos de mayor a menor antes de asignar los “Xi”. A manera de regla, podríamos decir que si no hay ninguna aclaración al respecto, se asume la asignación de Xi en base al orden de aparición, pero tranquila querida alumna, con la práctica irás desarrollando el saber cuándo y cómo asignar los subíndices.

También es frecuente encontrar sumatorias que no tienen valor inicial ni valor final, en este caso se asume que se deben sumar todos los elementos. Para nuestro caso sería de la siguiente manera: implicaría 

Sumemos todos los hijos:

La suma de la cantidad de hijos de todos los trabajadores es 12. En otras palabras, entre todos los trabajadores tienen 12 hijos.
Nuevamente analicemos la media aritmética para entender esta diferencia.

Nuevamente analicemos la media aritmética para entender esta diferencia.

En ambos casos, el sumatorio hace referencia a la suma de todos los elementos, solo que en el segundo caso lo hace de manera implícita.

Como se vio hasta ahora, los subíndices indicaban la posición de los elementos en un conjunto de datos. Sin embargo, muchas veces la sumatoria no presenta subíndices, eso quiere decir que los subíndices son directamente los sumandos, veamos los siguientes sumatorios:

Se lee: sumatoria desde el 2 hasta el 5, es decir:

Se lee: la suma de los números desde el 2 hasta el 5, es 14.

Se lee: sumatoria desde el 1 hasta el 4, es decir:

Se lee: la suma de los primeros números desde el 1 hasta 4, es 10.

Para sumar los primeros números naturales como en el caso anterior (es decir que la sumatoria empieza desde el uno y lo sumandos son los números naturales), se cumple que:

Volvamos a resolver el ejercicio anterior aplicando la fórmula:

Te invitamos a poner a prueba la fórmula para números menores que 10. Esta fórmula nos facilita el cálculo para números más grandes como, por ejemplo:

¡Ahora te toca a ti!

Resuelve los siguientes ejercicios, y comprueba tus respuestas con el video que aparece al final.

1). Las tardanzas de una semana en el trabajo de Pepito, están registradas en el siguiente cuadro. Calcular el total de los minutos de tardanza.

2). Calcular:

3). Calcular:

4). El sueldo de 6 alumnos recién egresados de una universidad privada está dado según el siguiente cuadro, calcular el promedio de sueldo de los alumnos:

Formula de promedio: