Intervalos

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I. Subconjuntos en los números reales

Los subconjuntos numéricos permiten representar diversas situaciones del entorno, tales como: la cantidad de elementos que tiene un conjunto (los naturales), las partes de una unidad (los racionales), o la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1 (los irracionales).

Entre los números reales pueden distinguirse tres subconjuntos especiales (Thomas, 2006)

1. Los números natures, digamos 1,2,3 …

Los números naturales N comienzan con el número 1 (uno) y generalmente se utilizan para contar. Como conjunto se representa de la siguiente manera:

N = {1,2,3, …}

2. Los números enteros, como … -2,-1,0,1,2,…

El conjunto de los números enteros Z, se forma al incluir el 0 (cero) y los negativos de los numeros naturales. Se representan de la siguiente forma:

Z = {…, -2, -1,1,0,1,2, …}

Los numeros enteros se simbolizan con la letra Z en alusión a la palabra alemana «Zalhen» que significa números.

3. Los números racionales, aquellos que pueden expresarse como fracción: 4/5, 3/9, 10/5, …

Los números racionales Q permiten representar partes de una unidad. Tienen la propiedad de que se pueden escribir como el cociente de dos números enteros, m/n, en el que m es el numerador y n el denominador, que no puede ser 0 (cero). Se definen de la siguiente manera:

Estos se simbolizan con la letra Q en honor a la palabra Quotient (cociente en inglés).

4. Los números irracionales, por ejemplo: π, e, raiz cuadrada de 2 …

Los números reales que no son racionales se llaman números irracionales, y se caracterizan por tener expansiones decimales no finitas y no periódicas. Por ejemplo: π, e, √2 y log 103 .

II. Intervalos

Un subconjunto de la recta real recibe el nombre de intervalo si contiene por lo menos dos números y todos los números reales. Por ejemplo, el conjunto de todos los números reales x tales que x < 6 es un intervalo, así como el conjunto de todos los x tales que -2 ≤ x <3 . Recuerde estimada y estimado lector que la notación sería la siguiente:

{x | -2 ≤ x <3}

Se lee: “Para todo x tal que -2 sea menor o igual a “x”, y “x” sea menor que 3”.

Nótese que aquí se asume que x pertenece al conjunto de los números reales, por lo cual los números del conjunto serían todos los decimales que están entre -2 y 3, incluyendo a -2 y excluyendo a 3. Por ejemplo algunos valores incluidos en este intervalo serían: -2, -1.99, 0, 0.5, 1, 2.999, etc.

Los valores extremos de un intervalo también se llaman puntos frontera. El resto de los valores son puntos interiores, y constituyen el interior del intervalo.

Tipos de intervalos

Los intervalos finitos tienen dos puntos frontera, son cerrados si los contienen, de lo contrario son abiertos, si uno de los puntos frontera está incluido en el intervalo y el otro no, es un intervalo semiabierto. Los intervalos infinitos, son cerrados si contienen su extremo finito, de lo contrario son abiertos. La recta real completa es un intervalo infinito que es tanto abierto como cerrado.