Una fracción es el cociente indicado de dos números enteros de la forma a/b (obviamente b≠0) donde el numerador (número de arriba), “a” indica el número de partes tomados de la unidad y el denominador (número de abajo) “b” indica el número de partes iguales en que fue dividida la unidad. A continuación, se observan 2 pizzas cortadas en 8 rebanadas, Catalina se ha comido 4 pedazos de la suya, mientras que Macarena se comió solo 3. En ambos casos vemos que el denominador es igual a 8, pero en cada caso, los numeradores son diferentes.

Ejemplo gráfico de fracciones

Figura 1. Gráfica de fracciones representadas por pizzas Nota: Elaboración propia

Fracciones equivalentes:

Son aquellas que representan una misma cantidad, aunque el numerador y el denominador sean diferentes.

Ejemplo de fracciones equivalentes:

Esto es útil ya que quiere decir que, de ser necesario, podríamos reemplazar una fracción por otra equivalente.

Por comparación de sus términos:

Cuando se las clasifica en base a la comparación de cuál es el número mayor entre el numerador (número de arriba) y el denominador (número de abajo), se las clasifica en: fracciones propias e impropias, como se puede ver en la tabla 1.  Tipos de fracciones cuando se comparan sus términos:

Nota: Elaboración propia. Tabla 1. Tipos de fracciones cuando se comparan sus términos.

Esto quiere decir que, las fracciones propias son menores a la unidad, o en otras palabras que no llegan a “utilizar” todo el entero.

Por su denominador:

Cuando el denominador es un múltiplo de 10, es una fracción decimal, de lo contrario es una fracción ordinaria, como se puede ver en la tabla 2.  Tipos de fracciones cuando se clasifican según su denominador:

Nota: Elaboración propia. Tabla 2. Tipos de fracciones cuando se clasifican según su denominador.

Por el grupo de fracciones:

Cuando se tienen dos o más fracciones, se las clasifica en base a la similitud de sus denominadores. Si todas tienen el mismo denominador, se las llama homogéneas, de lo contrario se las llama heterogéneas, como se puede ver en la tabla 3.  Tipos de fracciones por el grupo de fracciones:

Nota: Elaboración propia. Tabla 3. Tipos de fracciones cuando se clasifican por el grupo de fracciones.

Por divisores comunes entre sus términos:

Una fracción es reducible cuando presenta divisores comunes entre sus términos, es decir que es posible simplificarla, o sea convertirla en una fracción equivalente con números más pequeños.

Nota: Elaboración propia. Tabla 4. Tipos de fracciones cuando se clasifican por divisores comunes entre sus términos.

Suma con fracciones

Suma de fracciones homogéneas:

El caso más simple de la suma de fracciones se presenta cuando las fracciones son homogéneas, es decir que todas tienen el mismo denominador. En este caso, simplemente se procede a copiar el mismo denominador y realizar la suma de los numeradores.

Ejemplos de suma de fracciones homogéneas

1) Calcula el resultado de:

Explicación gráfica:

2) Calcula el resultado de:

Explicación gráfica:

3) Calcula el resultado de:

Explicación gráfica:

Fracciones heterogéneas

Cuando las fracciones son heterogéneas (distinto denominador), antes de sumarlas, deben ser reemplazadas por sus fracciones equivalentes, de tal manera que sean homogéneas (para entender por qué se debe hacer esto, intenta sumar gráficamente y verás lo difícil que sería). Para tal efecto se debe hallar un denominador común, y esto se logra mediante el método del mínimo común múltiplo, lo que nos permite operar con los números más pequeños posibles.

Suma de fracciones heterogéneas

A continuación, explicaremos minuciosamente el proceso para realizar cualquier suma de fracciones heterogéneas. Al principio tal vez te parezca un proceso muy largo, pero una vez que los entiendas los iremos resumiendo para que también aprendas a resolverlos más rápido.

Ejemplos de suma de fracciones heterogéneas

1. Calcula el resultado de:

1.1Hallamos el mínimo común múltiplo (m.c.m)

Ubicamos los denominadores en una tabla y buscamos los factores primos comunes, esto se logra dividiendo entre los números primos, 2, 3, 5, 7 y así sucesivamente hasta que todos los denominadores han dado 1. Una vez logrado esto, se multiplican los factores hallados.

Mínimo común múltiplo de 3 y 5

1.2 Convertimos las fracciones a homogéneas, donde el denominador común será el m.c.m. hallado.

1.2.1 Modificando la primera fracción:

Hallamos el número por el cual hay que multiplicar al denominador, para que se vuelva el mcm, es decir 15. Dividimos el mcm entre el denominador:

Multiplicamos ese resultado arriba y abajo para encontrar la fracción equivalente a 1/3, pero que tenga de denominador 15:

1.2.2 Modificando la segunda fracción:

Hallamos el número por el cual hay que multiplicar al denominador, para que se vuelva el mcm, es decir 15. Dividimos el mcm entre el denominador:

1.3 Reescribimos la suma utilizando las fracciones equivalentes halladas:

1.4 Operamos la nueva suma de fracciones homogéneas:

1.5 Respondemos a la pregunta planteada:

2. Calcula el resultado de:

2.1 Hallamos el mínimo común múltiplo (m.c.m)

2.2 Convertimos las fracciones a homogéneas, donde el denominador común será el mcm hallado.

Hallamos el número por el cual hay que multiplicar al primer denominador:

Multiplicamos ese resultado arriba y abajo:

Hallamos el número por el cual hay que multiplicar al segundo denominador:

Multiplicamos ese resultado arriba y abajo:

Nótese que, en este caso, el segundo denominador era igual al m.c.m. por lo cual la fracción se mantuvo igual.

2.3 Reescribimos la suma utilizando las fracciones equivalentes halladas:

2.4 Operamos la nueva suma de fracciones homogéneas:

2.5 Respondemos a la pregunta planteada:

Ahora ya estamos listos para resolver una suma con más de dos fracciones:

3. Calcula el resultado de:

3.1 Hallamos el mínimo común múltiplo (m.c.m):

3.2 Convertimos las fracciones a homogéneas, donde el denominador común será el m.c.m. hallado.

3.3 Reescribimos la suma utilizando las fracciones equivalentes halladas y realizamos la nueva suma:

Cumple con las mismas reglas que la suma, pero se deberá ser muy cuidadoso con los signos.

Ejemplos de resta de fracciones

1. Calcula el resultado de:

2. Calcula el resultado de:

3. Calcula el resultado de:

4. Calcula el resultado de:

Las convertimos en fracciones homogéneas:

Es la operación más simple entre fracciones, ya que solo se multiplica los numeradores con numeradores y los denominadores con los denominadores (lo de arriba con lo de arriba, y lo de abajo con lo de abajo), se debe prestar mucha atención a los signos.

Ejemplos de multiplicación de fracciones

1. Calcula el resultado de:

2. Calcula el resultado de:

3. Calcula el resultado de:

Para dividir una fracción entre otra, se multiplica los términos inversamente, es decir el numerador de la primera fracción por el denominador de la otra fracción, y ese será el numerador del resultado y viceversa para obtener del denominador del resultado.

Calcula el resultado de:

Cuando se usa la notación de fracciones para la división de fracciones, es decir cuando se pone la primera fracción como numerador, a esta operación se le suele llamar extremos y medios, justamente porque la multiplicación se realiza a los extremos. A continuación, realizaremos exactamente la misma división, utilizando esta notación para entender esto y entender que se trata de lo mismo:

Ejemplos de división de fracciones:

1. Calcula el resultado de:

2. Calcula el resultado de:

Ahora que ya sabemos multiplicar fracciones, podemos calcular la magnitud de una fracción de un número. Por ejemplo, si tengo una bolsa de 200 dulces, ¿Cuántos dulces representan los ¾ de esa bolsa? Para esto solo se multiplica el número por la fracción:

Matemáticamente:

Verbalmente: los ¾ de 200 dulces, son 150 dulces.

Nótese que la palabra “de” es representada mediante la multiplicación.

Resuelve los siguientes ejercicios, y comprueba tus respuestas con el video que aparece al final.

1. Ubica los siguientes números en la recta de los números reales y ordénalos de menor a mayor:

1.5 ; 1/3 ; -1/2 ; -2 ; 0 ; 1/4

2. Calcula el resultado de:

3. Calcula el resultado de:

4. Calcula el resultado de:

5. Calcula el resultado de:

6. Halla el valor de M si:

7. Una chompa tiene un precio de $US 30, pero pro el día de la madre tiene un descuento de 1/6 de su precio, ¿Cuánto se pagó por la chompa?